Question

3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}+（{a^2}+{c^2}-ac）x+1$有极值点，则∠B的范围是（$\frac{π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 先求导f′（x）=x²+2bx+（a²+c²-ac），从而化函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有极值点为x²+2bx+（a²+c²-ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1，
∴f′（x）=x²+2bx+（a²+c²-ac），
又∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（a²+c²-ac）x+1有极值点，
∴x²+2bx+（a²+c²-ac）=0有两个不同的根，
∴△=（2b）²-4（a²+c²-ac）＞0，
即ac＞a²+c²-b²，
即ac＞2accosB；
即cosB＜$\frac{1}{2}$；
故∠B的范围是（$\frac{π}{3}$，π）；
故答案为：$（{\frac{π}{3}，π}）$．

点评 本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．