Question

4．已知在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，曲线C₂的极坐标方程为：ρ²（1+sin²θ）=8，
（1）写出C₁和C₂的普通方程；
（2）若C₁与C₂交于两点A，B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）将曲线C₂的极坐标方程ρ²（1+sin²θ）=8，利用互化公式可得直角坐标方程．将曲线C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t化为普通方程．
（2）若C₁与C₂交于两点A，B，可设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），联立方程组消去y，可得3x²-12x+10=0，利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）将曲线C₂的极坐标方程ρ²（1+sin²θ）=8，化为直角坐标方程x²+2y²=8；
将曲线C₁的方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t化为普通方程：y=x-3．
（2）若C₁与C₂交于两点A，B，可设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x-3\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，消去y，可得x²+2（x-3）²=8，
整理得3x²-12x+10=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4\\{x_1}{x_2}=\frac{10}{3}\end{array}\right.$，
则$|{AB}|=\sqrt{（{1+{1^2}}）{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}=\sqrt{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．