题目内容
9．中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，且各场比赛互不影响．（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于$\frac{2}{3}$，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？
（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．
分析 （Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，结合条件，即可求解；
（Ⅱ）据题意，X的可能值为0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望．
解答 解：（Ⅰ）记“种子A与非种子B1、B2、B3比赛获胜”分别为事件A1、A2、A3$A={A_1}{A_2}{A_3}+\overline{A_1}{A_2}{A_3}+{A_1}\overline{A_2}{A_3}+{A_1}{A_2}\overline{A_3}$$P（A）=P（{A_1}{A_2}{A_3}+\overline{A_1}{A_2}{A_3}+{A_1}\overline{A_2}{A_3}+{A_1}{A_2}\overline{A_3}）$=$\frac{17}{24}＞\frac{2}{3}$
所以，A入选最终名单….6
（Ⅱ）X的可能值为0、1、2、3
$\begin{array}{l}P（x=0）=\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\\ P（x=1）=\frac{3}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}=\frac{6}{24}\\ P（x=2）=\frac{3}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{3}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}=\frac{11}{24}\\ P（x=3）=\frac{3}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}=\frac{6}{24}\end{array}$
所以，X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{24}$ | $\frac{6}{24}$ | $\frac{11}{24}$ | $\frac{6}{24}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．
阅读快车系列答案| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$或2 | C． | $\frac{1}{2}$或2 | D． | $\frac{1}{2}或\sqrt{2}$ |
| A． | i | B． | -i | C． | 1 | D． | -1 |
为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定举行秋季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，得到茎叶图如下：