Question

9．在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为$ρ=4\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）$
（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P（0，2）作斜率为$\sqrt{3}$直线l与圆C交于A，B两点，试求$|{\frac{1}{|PA|}-\frac{1}{|PB|}}|$的值．

Answer 1

分析 （1）化简得到ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，根据x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，替换即可；
（2）求出直线l的参数方程，代入圆的方程，结合t的几何意义求出答案即可．

解答 解：（1）由$ρ=4\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-θ）$，可得ρ=4cosθ+4sinθ，…（2分）
∴ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=4x+4y，
即（x-2）²+（y-2）²=8．                                       …（5分）
（2）过点P（0，2）作斜率为$\sqrt{3}$的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）      …（7分）
代入（x-2）²+（y-2）²=8，得t²-2t-4=0，
设点A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=2，t₁•t₂=-4…（8分）
由t的几何意义可得$|{\frac{1}{|PA|}-\frac{1}{|PB|}}|=|{\frac{1}{{|{t_1}|}}-\frac{1}{{|{t_2}|}}}|=\frac{{|{|{t_1}|-|{t_2}|}|}}{{|{t_1}||{t_2}|}}=\frac{{|{t_1}+{t_2}|}}{{|{t_1}{t_2}|}}=\frac{1}{2}$．           …（10分）

点评 本题考查了极坐标方程、参数方程问题，考查三角函数以及绝对值的意义，是一道中档题．