Question

17．已知函数f（x）=x²+ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x-y+2=0平行，若数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为S_n，则S₁₀的值为（　　）

• A． $\frac{175}{264}$
• B． $\frac{11}{24}$
• C． $\frac{175}{132}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 f′（x）=2x+a，根据函数f（x）=x²+ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x-y+2=0平行，可得f′（0）=a=2，于是f（x）=x²+2x．得到数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+a，
∵函数f（x）=x²+ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x-y+2=0平行，
∴f′（0）=a=2，
∴f（x）=x²+2x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
则S₁₀=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{12}$）
=$\frac{175}{264}$．
故选：A．

点评 本题考查了导数的几何意义、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．