Question

1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，PE⊥平面ABCD，E在AD上，FD∥PE，BC=AE=PE，DE=DF=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅰ）求证：AB⊥EF；
（Ⅱ）求证：CF∥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直的性质可证PE⊥AB，由已知可证AB⊥AD，利用线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面PAD，由线面垂直的性质可证AB⊥EF．
（Ⅱ）由已知可得∠PAE=∠FED=45°，可证AP∥EF，连接CE，又证明CE∥AB，进而可证平面PAB∥平面EFC，利用面面平行的性质可证CF∥平面PAB．

解答 证明：（Ⅰ）∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PE⊥AB，
又∵∠BAD=90°，AD∩PE=E，
∴AB⊥平面PAD，
∵EF?平面PAD，
∴AB⊥EF．
（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，E在AD上，FD∥PE，BC=AE=PE，DE=DF=$\frac{1}{2}$BC．
∴∠PAE=∠FED=45°，
∴AP∥EF，
连接CE，又∵AD∥BC，BC=AE，
∴CE∥AB，且AP∩AB=A，EF∩CE=E，
∴平面PAB∥平面EFC，
又∵CF?平面EFC，
∴CF∥平面PAB．

点评 本题主要考查了线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，面面平行的判定和性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．