题目内容
12．某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车挖掘机
| 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 车辆数 | 5 | 10 | 30 | 35 | 15 | 3 | 2 |
| 出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 车辆数 | 14 | 20 | 20 | 16 | 15 | 10 | 5 |
（Ⅱ）如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．
分析 （I）设“事件Ai表示一台A型挖掘机在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一台B型挖掘机在一周内出租天数恰好为j天”，其i，j=1，2，…，7．则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1），代入概率计算即可得出．
（II）利用频率可得概率，分别得出X，Y的分布列，即可得出数学期望．
解答 解：（I）设“事件Ai表示一台A型挖掘机在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件Bj表示一台B型挖掘机在一周内出租天数恰好为j天”，其i，j=1，2，…，7．则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）=$\frac{5}{100}×\frac{20}{100}$+$\frac{10}{100}×\frac{20}{100}$+$\frac{30}{100}×\frac{14}{100}$=$\frac{9}{125}$．
所以该公司一台A型车，一台B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为$\frac{9}{125}$．
（Ⅱ）设X为A型挖掘机出租的天数，则X的分布列为
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P | 0.05 | 0.10 | 0.30 | 0.35 | 0.15 | 0.03 | 0.02 |
设Y为B型挖掘机出租的天数，则Y的分布列为
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P | 0.14 | 0.20 | 0.20 | 0.16 | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
EX=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
EY=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
一台A类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.62天，一台辆B类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的挖掘机更加合理．（12分）
点评 本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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