Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+ln（\sqrt{1+{x}^{2}}+x），x≥0}\\{3{x}^{2}+ln（\sqrt{1+{x}^{2}}-x），x＜0}\end{array}\right.$，若f（x-1）＜f（2x+1），则x的取值范围为{x|x＞0，或x＜-2 }．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．由不等式f（x-1）＜f（2x+1），可得|x-1|＜|2x+1|，由此求得x的范围．

解答 解：∵已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+ln（\sqrt{1+{x}^{2}}+x），x≥0}\\{3{x}^{2}+ln（\sqrt{1+{x}^{2}}-x），x＜0}\end{array}\right.$，
∴满足f（-x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，
f（x）在[0，+∞）上单调递增．
若f（x-1）＜f（2x+1），则|x-1|＜|2x+1|，
∴（x-1）²＜（2x+1）²，即x²+2x＞0，∴x＞0，或x＜-2，
故答案为：{x|x＞0，或x＜-2}．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．