Question

3．已知a∈R，函数f（x）=x²+（2a+1）x，g（x）=ax．
（1）解关于x的不等式：f（x）≤g（x）；
（2）若不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤g（x），得x²+（2a+1）x≤ax，即x²+（a+1）x≤0．然后分a＜-1，a=-1，a＞-1三类求解不等式的解集；
（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立?|x²+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，当a=0时，不等式|x²+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；当a＞0时，分x∈（-∞，0]与x∈（0，+∞）分类分析；当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，不等式|x²+（2a+1）x|≥ax显然不成立；当a$≤-\frac{1}{2}$时，要使不等式|x²+（2a+1）x|≥ax恒成立，则t（x）=x²+2（a+1）x-ax＞0在x∈（-∞，0）上恒成立．然后利用导数求解满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）≤g（x），得x²+（2a+1）x≤ax，即x²+（a+1）x≤0．
当a＜-1时，解得0≤x≤-a-1．当a=-1时，解得x=0．当a＞-1时，解得-a-1≤x≤0．
∴当a＜-1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[0，-a-1]；
当a=-1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为{0}；
当a＞-1时，不等式f（x）≤g（x）的解集为[-a-1，0]．
（2）|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立?|x²+（2a+1）x|≥ax对任意实数x恒成立，
当a=0时，不等式|x²+（2a+1）x|≥ax对任意x∈R都成立；
当a＞0时，当x∈（-∞，0]时，不等式|x²+（2a+1）x|≥ax成立，
当x∈（0，+∞）时，令h（x）=x²+（2a+1）x-ax=x²+ax+x，h′（x）=2x+a+1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（x）＞h（0）=0，∴不等式|x²+（2a+1）x|≥ax成立，
∴当a＞0时，不等式|x²+（2a+1）x|≥ax成立；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，不等式|x²+（2a+1）x|≥ax显然不成立；
当a$≤-\frac{1}{2}$时，要使不等式|x²+（2a+1）x|≥ax恒成立，则t（x）=x²+2（a+1）x-ax＞0在x∈（-∞，0）上恒成立．
∵t′（x）=2x+a+1，由2x+a+1=0，解得x=-$\frac{a+1}{2}$，若-1＜a$≤-\frac{1}{2}$，
则当x∈（-∞，-$\frac{a+1}{2}$）时，t′（x）＜0，当x∈（-$\frac{a+1}{2}$，+∞）时，t′（x）＞0，
∴x∈（-∞，0）时，$t（x）_{min}=t（-\frac{a+1}{2}）$=$（-\frac{a+1}{2}）^{2}+（a+1）•（-\frac{a+1}{2}）$=$\frac{-（a+1）^{2}}{4}＜0$，不合题意；
若a≤-1，则x∈（-∞，0）时，t′（x）≤0，t（x）为减函数，则t（x）＞t（0）=0．
综上，不等式|f（x）|≥g（x）对任意实数x恒成立时a的取值范围是（-∞，-1]∪[0，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，属中档题．