Question

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a

x

在（0，1）上为减函数，有以下四个结论：①a的取值有无数个；
②a的取值是唯一的；
③当x＞0时，f（x）≥g（x）+2恒成立，当且仅当x=2时取等号；
④当b＞-1时，若f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，则b的取值范围是（-1，1]．
其中正确的结论是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：依题意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立，又g′（x）=1-

a

2 x

，依题意恒成立g'（x）≤0，?x∈（0，1），故①不正确；②正确；
由f（x）=g（x）+2知，方程x²-2lnx-x+2

x

-2=0，设h（x）=x²-2lnx-x+2

x

-2（x＞0），确定h（x）在x=1处有一个最小值0，即可判断；
分离b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令φ（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤φ（x）_min．

解答： 解：f′（x）=2x-

a

x

，
依题意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立．
∴a≤2（1）
又g′（x）=1-

a

2 x

，依题意，?x∈（0，1），g'（x）≤0恒成立，
即a≥2

x

，?x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2．（2）
由（1）（2）得a=2．故①不正确；②正确；
由f（x）=g（x）+2知，方程x²-2lnx-x+2

x

-2=0，
设h（x）=x²-2lnx-x+2

x

-2（x＞0），
则h′（x）=

( x -1)[(2x+1) x +2(x+1)]

x

，令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	递减	0	递增

知h（x）在x=1处有一个最小值0，
∴当x＞0时，f（x）≥g（x）+2恒成立，当且仅当x=1时取等号，故③不正确；
（4）f（x）≥2bx-

1

x2

，即x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]内恒成立，
分离b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令φ（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤φ（x）_min
求导得出φ′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

．
由于x∈（0，1]，所以 φ′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

＜0，
φ（x）在（0，1]上单调递减，φ（x）≥φ（1）=1，所以b≤1，又b＞-1，所以1＞b＞-1，即④正确．
故选：C．

点评：本题考查导数在求函数最大值、最小值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大．