Question

设二次函数f（x）满足：i）f（x）＞0的解集为（0，1）；ii）对任意x∈R都有-3x²-1≤f（x）≤6x+2成立．数列
{a_n}满足：a₁=

1

3

．0＜a_n＜

1

2

，a_n+1=f（a_n）（n∈N⁺）．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求证：

2

1-2a1

+

2

1-2a2

+

2

1-2a3

+…+

2

1-2an

-3ⁿ⁺¹≥-3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）可令x=-1，得到-4≤f（-1）≤-4，即可得到f（-1）；
（2）由不等式的解集，可设f（x）=ax（x-1），代入f（-1），即可得到a，进而得到解析式；
（3）化简a_n+1=f（a_n），令b_n=1-2a_n，则b_n+1=b_n²，两边取对数，得到等比数列，求出通项，
则

2

1-2an

=2×32n-1，再由等比数列的求和公式，通过作差，化简整理，即可得证．

解答： （1）解：由于对任意x∈R都有-3x²-1≤f（x）≤6x+2成立，则
令x=-1，得-4≤f（-1）≤-4，则f（-1）=-4；
（2）解：由于f（x）＞0的解集为（0，1），可设f（x）=ax（x-1），
由f（-1）=-4，可得，a=-2，则f（x）=-2x²+2x；
（3）证明：a_n+1=f（a_n）=-2a_n²+2a_n，
=-2（a_n-

1

2

）²+

1

2

，
则

1

2

-a_n+1=2（

1

2

-a_n）²，即有1-2a_n+1=（1-2a_n）²，
令b_n=1-2a_n，则b_n+1=b_n²，由于0＜a_n＜

1

2

，
则有lgb_n+1=2lgb_n，b₁=1-

2

3

=

1

3

，
即有lgb_n=lgb₁•2^n-1，则b_n=(

1

3

)2n-1，则

2

1-2an

=2×32n-1，
则

2

1-2a1

+

2

1-2a2

+

2

1-2a3

+…+

2

1-2an

-3ⁿ⁺¹+3
=2•

3(1-9n)

1-9

-3ⁿ⁺¹+3=

3

4

（9ⁿ-4•3ⁿ+3）=

3

4

•（3ⁿ-1）（3ⁿ-3）
由于n≥1，则上式≥0，
则原不等式成立．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查构造数列的思想方法，考查运算能力，属于中档题．