Question

5．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的实轴长为2，点$P（2，\sqrt{6}）$在此双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆x²+y²=5上，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据双曲线的性质，求出a，b即可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）根据直线与双曲线的位置关系，求出中点坐标，结合中点坐标在圆上的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意知：2a=2，∴a=1，
又点$P（2，\sqrt{6}）$在双曲线上，
∴$\frac{4}{1^2}-\frac{6}{b^2}=1⇒{b^2}=2$，
∴双曲线方程为：${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$消y有x²-2mx-m²-2=0，
∴△=（-2m）²+4（m²+2）＞0，
∴${x_1}+{x_2}=2m，{x_1}{x_2}=-（{m^2}+2）$，
∵N为AB中点，∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=m，{y_0}={x_0}+m=2m$，
∵N在圆x²+y²=5上即m²+（2m）²=5，
∴m=±1，经检验，符合题意．
所以，实数m的值为±1．

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．