Question

设函数f（x）=

1

x2-bx+1

，b为常数．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在（1，+∞）单调递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）利用二次函数的判别式△与函数单调性之间的关系，进行分类讨论即可求出实数b的取值范围．

解答： 解：（1）若b=0，则f（x）=

1

x2-bx+1

=

1

x2+1

，此时f（-x）=

1

x2+1

=f（x），此时为偶函数，
若b≠0，则f（-x）=

1

x2+bx+1

≠f（x），且f（-x）≠-f（x），即函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）①当判别式△=（-b）²-4＜0，即-2＜b＜2，此时函数的定义域为R，若f（x）在（1，+∞）单调递减，
则满足-

b

2

≤1，即b≥-2，此时-2＜b＜2．
②当判别式△=（-b）²-4=0，即b=-2或b=2，此时函数的定义域为{x|x≠

b

2

}，满足f（x）在（1，+∞）单调递减．
③当判别式△=（-b）²-4=＞0，即b＞2或b＜-2，此时函数的定义域为{x|x≠

b± b2-4

2

}，为满足f（x）在（1，+∞）单调递减，
必须有

b± b2-4

2

≤1，得b＜-2，
下面证明当b＜-2时，f（x）在（1，+∞）单调递减，
任意设1＜x₁＜x₂，则x12-bx1+1＞0，x22-bx2+1＞0，且x₁+x₂-b＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

x 2 1 -bx1+1

-

1

x 2 2 -bx2+1

=

x 2 2 -bx2+1-( x 2 1 -bx1+1)

( x 2 1 -bx1+1)( x 2 2 -bx2+1)

=

(x2-x1)(x1+x2-b)

( x 2 1 -bx1+1)( x 2 2 -bx2+1)

＞0，
则当b＜-2时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
综上若f（x）在（1，+∞）单调递减，求实数b的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据二次函数的单调性以及分类讨论是解决本题的关键．