Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，四边形BCC₁B₁为矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3，∠A₁AB=60°
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知得B₁B⊥CB，AB⊥CB，从而CB⊥AB₁，再由A₁B⊥AB₁，能证明平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
（2）过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角，由此能求出直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

解答： （1）证明：∵四边形BCC₁B₁为矩形，∴B₁B⊥CB，
又AB⊥CB，B₁B∩AB=B
∴CB⊥面A₁ABB₁，AB₁?A₁ABB₁，
∴CB⊥AB₁，
∵四边形A₁ABB₁为菱形，∴A₁B⊥AB₁，且CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁CB，∵AB₁?平面A₁ABB₁，
∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
（2）解：过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，
∴BC⊥A₁D．∵BC∩BB₁=B，∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，
故∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角．
在矩形BCC₁B₁中，DC=

13

，．
∵四边形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°，
AB=4，∴A₁D=2

3

，
∴tan∠A₁CD=

A1D

CD

=

2 3

13

=

2 39

13

．

点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．