Question

18．设f（x）=lg（5-x）．
（1）若10^f（k）=10^f（2）×10^f（3），求k的值；
（2）若f（2m-1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由10^f（k）=10^f（2）×10^f（3），可得f（k）=f（2）+f（3），即lg（5-k）=lg3+lg2．再利用对数的运算法则即可得出．
（2）由f（x）=lg（5-x）单调递减．f（2m-1）＜f（m+1），可得2m-1＞m+1，5-（2m-1）＞0，5-（m+1）＞0，解得m范围．

解答 解：（1）∵10^f（k）=10^f（2）×10^f（3），∴f（k）=f（2）+f（3），
∴lg（5-k）=lg3+lg2，∴5-k=2×3，解得k=-1．
经过验证满足条件．
∴k=-1．
（2）∵f（x）=lg（5-x）单调递减．f（2m-1）＜f（m+1），
∴2m-1＞m+1，5-（2m-1）＞0，5-（m+1）＞0，
解得2＜m＜3．

点评 本题考查了指数与对数的运算法则、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．