Question

3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若E是PC的中点，求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得：PD⊥DC，PD⊥AD，再由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，结合底面是边长为a的正方形，可得AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理，可得：平面PAC⊥平面PBD；
（3）过点E作EF⊥CD于F，过F作HF⊥BD于H，故∠FHE为二面角E-BD-C的平面角，解得：二面角E-BD-C的正切值．

解答 证明：（1）∵PD=a，DC=a，PC=$\sqrt{2}$a，
∴PC²=PD²+DC²，
∴PD⊥DC．
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB．
同时，AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）过点E作EF⊥CD于F，过F作HF⊥BD于H，

故∠FHE为二面角E-BD-C的平面角．
在Rt△EFH中，tan∠FHE=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是线面垂直的判定，面面垂直的判定，二面角的平面角及求解，难度中档．