Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx+k的图象过点 P（0，3），且在点M（1，f（1））处的切线方程为6x-y=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤x³+lnx+c有解，求c的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数的图象经过P点，所以把P点的坐标代入函数关系式中即可求出d的值，把d的值代入f（x）确定出函数的关系式，求出f（x）的导函数，把（1，f（1））代入导函数得到f（1）的值，又因为切线方程的斜率为6，所以得到x=1时导函数的值为6，分别列出关于m与n的两个方程，联立即可求出m与n的值，把m，n和k的值代入即可确定出f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函数的解析式，化简不等式，得到c的不等式，通过构造函数求出函数的最小值，即可得到c的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）的图象经过P（0，3），知k=3，
所以f（x）=x³+mx²+nx+3，则f'（x）=3x²+2mx+n．
由在M（1，f（1））处的切线方程是6x-y=0，知6-f（1）=0，
即f（1）=6，f'（1）=6
∴

1+m+n+3=6 3+2m+n=6

，
解得m=n=1，
故所求的解析式是f（x）=x³+x²+x+3．
（Ⅱ）不等式f（x）≤x³+lnx+c有解，
即：x³+x²+x+3≤x³+lnx+c，可得x²+x+3-lnx≤c，（x＞0），
令g（x）=x²+x+3-lnx，（x＞0）．
g′（x）=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

，
令2x²+x-1=0，解得：x=

1

2

，x=-1（舍去）．
x∈（0，

1

2

），g′（x）＜0，g（x）是减函数，x∈（

1

2

，+∞）是增函数，
g（x）的最小值为：g（

1

2

）=

19

4

+ln2，
不等式有解，可得c≥

19

4

+ln2．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用待定系数法求函数的解析式，函数的最值的求法，考查构造法的应用．是一道综合题．