Question

《中国好声音》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出，每期节目均由四位导师组成，导师背对歌手，当每位参赛选手喝完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的老师的团队中接受指导训练，已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身情况如下表所示：

导师转身人数（人）	4	3	2	1
获得相应导师转身的选手人数（人）	1	2	2	1

现从6位选手中随机抽取两人考察他们演唱完后导师转身情况．
（1）求选出的2人导师为其转身的人数和为4的概率．
（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为x，求x的分布列及数学期望E（x）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）选出的2人导师为其转身的人数和为4包含两种情况：①导师转身人数为3人的两人中选一人和导师转身人数为1人的选手，②导师转身人数为2人的选手全选．由此能求出选出的2人导师为其转身的人数和为4的概率．
（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及数学期望E（x）．

解答： 解：（1）选出的2人导师为其转身的人数和为4包含两种情况：
①导师转身人数为3人的两人中选一人和导师转身人数为1人的选手，
②导师转身人数为2人的选手全选．
∴选出的2人导师为其转身的人数和为4的概率为：
P=

C 1 2 C 1 1 + C 2 2

C 2 6

=

1

5

．
（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，6，7，
P（X=3）=

C 1 1 C 1 2

C 2 6

=

2

15

，
P（X=4）=

C 1 2 C 1 1 + C 2 2

C 2 6

=

1

5

，
P（X=5）=

C 1 2 C 1 2 + C 1 1 C 1 1

C 2 6

=

1

3

，
P（X=6）=

C 2 2 + C 1 1 C 1 2

C 2 6

=

1

5

，
P（X=7）=

C 1 1 C 1 2

C 2 6

=

2

15

，
∴X的分布列为：

X	3	4	5	6	7
P	2 15	1 5	1 3	1 5	2 15

E（X）=3×

2

15

+4×

1

5

+5×

1

3

+6×

1

5

+7×

2

15

=

13

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．