Question

定义：满足对任意的正整数n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立的数列{a_n}为“降步数列”．给出以下数列{a_n}（n∈N^*）：
①a_n=5n+3；②a_n=n²+n+1；③a_n=

n

；④a_n=2n+

1

n

；⑤a_n=

1

n2+n

；
其中是“降步数列”的有

 

（写出所有满足条件的序号）

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：对所给的五个数列，利用“降步数列”的概念，逐个进行验证，能求出结果．

解答： 解：在①中，∵a_n=5n+3，
∴a_n+2-a_n+1=5（n+2）-5（n+1）=5，
a_n+1-a_n=5（n+1）-5n=5，
∴对任意的正整数n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立，故①是“降步数列”；
在②中，∵a_n=n²+n+1，
∴a_n+2-a_n+1=（n+2）²+（n+2）+1-[（n+1）²+（n+1）+1]=2n+4，
a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）+1-（n²+n+1）=2n+2，
∴对任意的正整数n，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n都成立，故②不是“降步数列”；
在③中，∵a_n=

n

，
∴a_n+2-a_n+1=

n+2

-

n+1

，
a_n+1-a_n=

n+1

-

n

，
∴对任意的正整数n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立，故③是“降步数列”；
在④中，∵a_n=2n+

1

n

，
∴a_n+2-a_n+1=2（n+2）+

1

n+2

-[2（n+1）+

1

n+1

]=2+

1

n+2

-

1

n+1

，
a_n+1-a_n=2（n+1）+

1

n+1

-2n-

1

n

=2+

1

n+1

-

1

n

，
∴当n=1时，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n成立，故④不是“降步数列”；
在⑤中，∵a_n=

1

n2+n

，
∴a₃-a₂=

1

12

-

1

6

=-

1

12

，
a₂-a₁=

1

6

-

1

2

=-

1

3

，
∴当n=1时，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n成立，故⑤不是“降步数列”．
故答案为：①③．

点评：本题考查“降步数列”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．