题目内容
在直线x-y+9=0上取一点M，过点M且与椭圆
+
=1共焦点作椭圆C，问点M在何处时，椭圆C长轴长最短？并求出椭圆方程．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设要求的椭圆C标准方程为
+
=1(m＞0)，与椭圆的方程联立化为（2m+1）x2+18（m+1）x+（m+1）（81-m）=0，当直线与椭圆相切时，椭圆C长轴长最短．因此△=0，解出即可得出．
| x2 |
| m+1 |
| y2 |
| m |
解答：
解：设要求的椭圆C标准方程为
+
=1(m＞0)，
联立
，化为（2m+1）x2+18（m+1）x+（m+1）（81-m）=0，
当直线与椭圆相切时，椭圆C长轴长最短．
令△=182（m+1）2-4×（81-m）（m+1）（2m+1）=0，
解得m=40．
∴要求的椭圆C的标准方程为
+
=1．
| x2 |
| m+1 |
| y2 |
| m |
联立
|
当直线与椭圆相切时，椭圆C长轴长最短．
令△=182（m+1）2-4×（81-m）（m+1）（2m+1）=0，
解得m=40．
∴要求的椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 41 |
| y2 |
| 40 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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