Question

16．设函数f（x）是定义域为R的可导函数，e是自然数的底数，且xf′（x）lnx＞f（x），则（　　）

• A． f（2015）＜[f（2015e）-f（2015）]ln2015
• B． f（2015）＞[f（2015e）-f（2015）]ln2015
• C． f（2015）＜[ef（2015）-f（2015）]ln2015
• D． f（2015）＞[ef（2015）-f（2015）]ln2015

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（2015）与g（2015e）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：∵xf′（x）lnx＞f（x），
∴xf′（x）lnx-f（x）＞0，
构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{lnx}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）lnx-f（x）}{x（lnx）^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）为增函数，
∴g（2015）＜g（2015e），
∴$\frac{f（2015）}{ln2015}$＜$\frac{f（2015e）}{ln2015e}$=$\frac{f（2015e）}{1+ln2015}$，
∴f（2015）+f（2015）ln2015＜f（2015e）ln2015，
∴f（2015）＜[f（2015e）-f（2015）]ln2015，
故选：A．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．