Question

一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点，MN⊥AB₁．


（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）由图可知，ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，侧棱CC₁=a，底面为直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，B1(0，4，a)，N(

3

2

，0，a)，
所以，M(

3

2

，2，

a

2

)，

MN

=(0，-2，-

a

2

)，

AB1

=(-3，4，a)
因为MN⊥AB₁，所以

MN

•

AB1

=(0，-2，-

a

2

)•(-3，4，a)=0
解得：a=4…（3分）
此时，

MN

=(0，-2，-2)，平面BCC₁B₁的法向量

b

=(1，0，0)
∴

MN

•

b

=(1，0，0)•(0，-2，-2)=0
∴

MN

与平面BCC₁B₁的法向量垂直，且MN?平面BCC₁B₁
∴MN∥平面BCC₁B₁…（6分）
（Ⅱ）平面ABC的法向量

m

=(0，0，1)，设平面AB₁C₁的法向量为

n

=(x，y，1)，平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的大小等于其法向量所成锐角θ的大小，法向量

n

满足：

n

•

AC1

=0，

n

•

AB1

=0
因为A（3，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），

AC1

=(-3，0，4)，

AB1

=(-3，4，4)
所以，

n • AC1 =(-3，0，4)•(x，y，1)=-3x+4=0 n • AB1 =(-3，4，4)•(x，y，1)=-3x+4y+4=0

所以，

x= 4 3 y=0

，

n

=(

4

3

，0，1)
所以，cosθ=

m • n

| m || n |

=

1

16 9 .1

=

3

5

所以平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

3

5

…（13分）