Question

6．已知函数f（x）=x-alnx+$\frac{b}{x}$在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a与b满足的关系式；
（Ⅱ）若a＞3，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a＞3，函数g（x）=a²x²+3，若存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，可得a与b满足的关系式；
（Ⅱ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，确定分类标准，从而可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞3时，确定f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范

解答 解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
由f′（1）=0得b=1-a；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，则x₁=1，x₂=a-1，
∵a＞3，
∴x₂=a-1＞2，
令f′（x）＞0，解得：x＞a-1或0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a-1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，a-1）递减，在（a-1，+∞）递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
当a＞3时，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
∴f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0，
∵函数g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上是单调递增函数，
∴g（x）的最小值为g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+3＞0，
∴g（x）＞f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．                            
要使存在m₁，m₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，
只需要g（$\frac{1}{2}$）-f（1）＜9，即$\frac{1}{4}$a²+3-（2-a）＜9，
∴-8＜a＜4，
又∵a＞3，
∴a的取值范围是（3，4）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定分类标准，利用函数的最值解决恒成立问题．