Question

已知等差数列{a_n}（公差不为零）和等差数列{b_n}，如果关于x的方程9x²-（a₁+a₂+…a₉）x+b₁+b₂+…b₉=0有解，那么以下九个方程x²-a₁x+b₁=0，x²-a₂x+b₂=0，x²-a₃x+b₃=0…，x²-a₉x+b₉=0中，无解的方程最多有

 

个．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}（公差d₁不为零）和等差数列{b_n}的公差为d₂，运用求和公式，化简可得，a₅²≥4b₅，讨论
若d₂=0，则若d₁＞0，若d₁＜0，运用数列的单调性和二次方程的判别式的符号，即可得到．

解答： 解：设等差数列{a_n}（公差d₁不为零）和等差数列{b_n}的公差为d₂，
则关于x的方程9x²-（a₁+a₂+…a₉）x+b₁+b₂+…b₉=0有解，
则（a₁+a₂+…a₉）²-4×9（b₁+b₂+…b₉）≥0，
即有（

9(a1+a9)

2

）²-36×

9(b1+b9)

2

≥0，
即有a₅²≥4b₅，
则第5个方程有解，
若d₂=0，则若d₁＞0，则a₉＞a₈＞a₇＞a₆＞a₅，
即有5个方程有解，最多4个方程无解，
若d₁＜0，则a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅，
即有5个方程有解，最多4个方程无解．
故答案为：4

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式及运用，考查二次方程的解的情况，注意讨论公差的符号，考查推断能力，属于中档题和易错题．