Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若对任意给定的，关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）对函数求导研究导函数的正负情况，进而得到单调区间；（2）先求得当时，的值域为，方程在上有两个不同的实数根满足即可.

解析：

（1） ，

当时，，在上单调递增；

当时，令，解得，令，解得，

此时在上单调递增，在上单调递减.

（2）∵，∴.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴当时，的值域为，又时，，

∴对任意时，的取值范围为.

∵方程在上有两个不同的实数根，则.

且满足，

由解得，①

由，解得，②

由得，

令，易知单调递增，

而，于是时，解得，③

综上①②③得，，

即实数的取值范围为：.