Question

【题目】在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）与平面所成的正弦值为.

【解析】

（Ⅰ）先证明平面，平面，从而得证平面平面，故平面；（Ⅱ）以为原点，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，带入公式得到与平面所成的正弦值.

（Ⅰ）取中点，连接，由分别是的中点

，

又，平面，平面，又

平面平面，又平面

平面.

（Ⅱ）取中点，设交于点

，又平面平面

平面，在菱形中，

以为原点，如图建立空间直角坐标系，

过作，垂足为， 显然为中点，，

则，，

，设平面的法向量为，，，由得，令得，

，又 ，

，即与平面所成的正弦值为.