Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，，点为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面 平面，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）取中点，连结．先证明，再证明平面．（2）利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值．

详解：（1）取中点，连结．

因为点为的中点，所以且，

又因为且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）在平面中，过作，在平面中，过作．

因为平面 平面，平面 平面，所以平面，

所以，所以两两互相垂直.

以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 （如图），则，，，，， 7分

所以，，，

设是平面的一个法向量，

则即

取，得．

设直线与平面所成角为．

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．