Question

【题目】已知奇函数f（x）=a-（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）判定并证明f（x）的单调性；

（2）若对任意实数x，f（x）＞m2-4m+2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）上的递增函数，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）用单调性定义证明；

（2）先用奇函数性质求出a=1，再根据单调性求出函数最值，最后用最值使不等式成立即可．

解：（1）f（x）是R上的单调递增函数．

证明：因f（x）的定义域为R，任取x1，x2∈R且x1＜x2．

则f（x2）-f（x1）=-=．

∵y=ex为增函数，∴＞＞0，∴+1＞0，+1＞0．

∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），

故f（x）是R上的递增函数．

（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），

∴a-=-a+，∴2a=2，∴a=1，

∴f（x）=1-，

令t=ex+1，∵ex＞0，∴t＞1，

又g（t）=1-在（1，+∞）上为增函数，

∴-1＜g（t）＜1，即-1＜f（x）＜1，

当f（x）＞m2-4m+2对任意实数x恒成立，

有m2-4m+2≤-1，即m2-4m+3≤0，

∴1≤m≤3，

故实数m的取值范围是[1，3]．