Question

3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，
直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C上至少3个点到直线l的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）将直线l的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）直线l消去参数t，能求出直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程为ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）由已知得圆心C（1，1）到直线l：x+y+2-m=0的距离d≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（I）∵直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=m+t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为x+y+2-m=0，
曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0，
即（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）曲线C：（x-1）²+（y-1）²=2是以C（1，1）为圆心，以$\sqrt{2}$为半径的圆，
∵曲线C上至少3个点到直线l的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圆心C（1，1）到直线l：x+y+2-m=0的距离：d=$\frac{|1+1+2-m|}{\sqrt{1+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得3≤m≤5．
∴实数m的取值范围是[3，5]．

点评 本题考查直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．