Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，准线方程为x=±4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C上的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，AM，AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=-$\frac{1}{2}$，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，准线方程为x=±4，建立方程，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l为y=k（x-1），直线l和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理能求出直线MN的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，准线方程为x=±4，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
∴a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；…（6分）
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意；…（8分）
则直线l的斜率存在．
设直线l为y=k（x-1），直线l和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
依题意：△=9k²+9＞0，…（10分）
由韦达定理知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=k[2-3（$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$）]，
$\frac{1}{{x}_{1}+2}$+$\frac{1}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+4}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{8{k}^{2}+4（3+4{k}^{2}）}{4{k}^{2}-12+16{k}^{2}+4（3+4{k}^{2}）}$=$\frac{2{k}^{2}+1}{3{k}^{2}}$，
从而k_AM+k_AN=k（2-3•$\frac{2{k}^{2}+1}{3{k}^{2}}$）=-$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{2}$，…（14分）
解得k=2，符合△＞0．
故所求直线MN的方程为：y=2（x-1）．…（16分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．