Question

已知函数f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）
（1）若函数y=f（x）在（-1，1）内是减函数，求a的取值范围
（2）若函数y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求f′（x）=2x²-4ax-3，所以若函数y=f（x）在（-1，1）内是减函数，则f′（x）≤0在（-1，1）内恒成立，所以

f′(1)=-4a-1≤0 f′(-1)=4a-1≤0

，解不等式组即得a的取值范围；
（2）令f′（x）=0，容易判断该方程在R上有两个不同实根，而若函数y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，则该方程在（-1，1）内只有一个解，所以得到f′（-1）•f′（1）＜0，解不等式即得a的取值范围．

解答： 解：（1）f'（x）=2x²-4ax-3≤0在（-1，1）内恒成立；
∴

f′(1)≤0 f′(-1)≤0

，即

-4a-1≤0 4a-1≤0

；
解得-

1

4

≤a≤

1

4

；
∴a的取值范围为[-

1

4

，

1

4

]；
（2）令f'（x）=2x²-4ax-3=0；
∵△=16a²+24＞0；
∴该方程有两个不同实根；
若函数y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，则该方程在（-1，1）内只有一个解；
∴f'（-1）•f'（1）＜0，即1-16a²＜0，解得：
a＜-

1

4

或a＞

1

4

；
∴a的取值范围为(-∞，-

1

4

)∪(

1

4

，+∞)．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及对二次函数图象的掌握，函数极值的概念，函数在极值点处导数的取值情况．