Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N⁺），设b_n=a_n+1-a_n．
（1）求数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（2）记{a_n}的前n项和为S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整数．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用条件构造数列，先求出数列{b_n}的通项公式，然后利用累加法求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用（1）求出{a_n}的前n项和为S_n，然后解不等式S_n＞21-2n求最小整数．

解答： 解：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）⇒b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是以a₂-a₁=3为首项，公比为2的等比数列，∴bn=3×2n-1(3分)
∴an+1-an=3•2n-1
∴n≥2时，an-an-1=3•2n-2，…，a₃-a₂=3•2，a₂-a₁=3，
累加得an-a1=3•2n-2+3•2n-3+…+3•2+3=3(2n-1-1)
∴an=3•2n-1-2（当n=1时，也满足）                          （6分）
（2）由（1）利用分组求和法得Sn=3(2n-2+2n-3+…+2)-2n=3(2n-1)-2n   （9分）
Sn=3(2n-1)-2n＞21-2n，得 3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，∴n＞3．
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整数4．（12分）

点评：本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，以及利用累加法求数列的通项公式问题，综合性较强．