题目内容
甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%，20%的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出l00ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，称为一次调和．经n-1（n≥2，n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an，bn．记a1=10%，b1=20%．
（1）试用an-1，bn-1表示an，bn；
（2）求证：数列{an-bn}是等比数列，数列{an+bn}是常数列；
（3）求数列{an}，{bn}的通项公式．
（1）试用an-1，bn-1表示an，bn；
（2）求证：数列{an-bn}是等比数列，数列{an+bn}是常数列；
（3）求数列{an}，{bn}的通项公式．
考点：等差数列与等比数列的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由题意，经n-1（n≥2，n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an，bn，从而可用an-1，bn-1表示an，bn；
（2）利用（1）的结论，化简可得结论；
（3）利用（2）的结论，解方程组可得结论．
（2）利用（1）的结论，化简可得结论；
（3）利用（2）的结论，解方程组可得结论．
解答：
（1）解：由题意，经n-1（n≥2，n∈N*）次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an，bn，
∴an=
=
an-1+
bn-1，
bn=
=
bn-1+
an-1；
（2）证明：由（1）知，bn-an=（
bn-1+
an-1）-（
an-1+
bn-1）=
（bn-1-an-1）（n≥2）．
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为
的等比数列，
∴bn-an=（b1-a1）（
）n-1=10%•（
）n-1=
•（
）n-1；
bn+an=（
bn-1+
an-1）+（
an-1+
bn-1）=bn-1+an-1，
∴数列{an+bn}是常数列；
（3）由（2）bn-an=
•（
）n-1①
又an+bn=an-1+bn-1=a1+b1=30%=
②
联立①②得an=
-
•（
）n-1，bn=
+
•（
）n-1．
∴an=
| 400an-1+100bn-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
bn=
| 400bn-1+100an-1 |
| 500 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（2）证明：由（1）知，bn-an=（
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
可知数列{bn-an}为首项是b1-a1=10%，公比为
| 3 |
| 5 |
∴bn-an=（b1-a1）（
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
bn+an=（
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
∴数列{an+bn}是常数列；
（3）由（2）bn-an=
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
又an+bn=an-1+bn-1=a1+b1=30%=
| 3 |
| 10 |
联立①②得an=
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 1 |
| 20 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查数列的性质和应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
世纪百通主体课堂小学课时同步达标系列答案
世纪百通优练测系列答案
百分学生作业本题练王系列答案
相关题目
为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．