Question

9．若函数f（x）=ax³+x在区间[1，+∞）内是减函数，则（　　）

• A． a≤0
• B． $a≤-\frac{1}{3}$
• C． a≥0
• D． $a≥-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≤-$\frac{1}{{3x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：若函数f（x）=ax³+x在区间[1，+∞）内是减函数，
则f′（x）=3ax²+1≤0在[1，+∞）恒成立，
即a≤-$\frac{1}{{3x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立，
而y=-$\frac{1}{{3x}^{2}}$在[1，+∞）递增，
故x=1时，y的最小值是-$\frac{1}{3}$，
故a≤-$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．