Question

19．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}5x+3y≤15\\ y≤x+1\\ x-5y≤3.\end{array}$
（1）求目标函数z=x+y的最大值；
（2）求目标函数z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}+6x-6y+18}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．
（2）转化目标函数，利用几何意义求解即可．

解答 解：实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}5x+3y≤15\\ y≤x+1\\ x-5y≤3.\end{array}$表示的可行域是ABC，其中A（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），B（-2，-1），C（3，0）
（1）当直线z=x+y经过A时，目标函数取得最大值：$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}$=4．
（2）目标函数z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}+6x-6y+18}$=$\sqrt{（x+3）^{2}+（y-3）^{2}}$，它的几何意义时可行域的点与（-3，3）的距离，
由图形可知（-3，3）到x-y+1=0的距离最小，
可得z=$\frac{|-3-3+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．