Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，求：
（1）异面直线AD₁与A₁B所成的角；
（2）求AD₁与平面ABCD所成的角；
（3）求二面角D₁-AB-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）连结D₁C，AC，则A₁B∥D₁C，从而异面直线AD₁与A₁B所成的角为∠AD₁C，由△AD₁C是等边三角形，能求出异面直线AD₁与A₁B所成的角的大小．
（2）因为DD₁⊥平面ABCD，所以AD₁与平面ABCD所成的角为∠D₁AD，通过正方体的性质可求大小；
（3）因为D₁A⊥AB，CB⊥AB，所以二面角D₁-AB-C的平面角为∠D₁AD=45°．

解答： 解：（1）连结D₁C，AC，如图，

则△AD₁C是等边三角形
∵A₁B∥D₁C，
∴异面直线AD₁与A₁B所成的角为∠AD₁C，
∵△AD₁C是等边三角形，
∴∠AD₁C=60°，
∴异面直线AD₁与A₁B所成的角为60°．
（2）∵DD₁⊥平面ABCD，∴AD₁与平面ABCD所成的角为∠D₁AD，
∵几何体是正方体，∴∠D₁AD=45°；
（3）∵D₁A⊥AB，CB⊥AB，BC∥AD，
∴二面角D₁-AB-C的平面角为∠D₁AD=45°．

点评：本题考查了正方体中异面直线所成的角以及线面角和二面角；关键是将空间角转化为平面角来解答．