Question

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$=3cosC，则$\frac{sin（A-B）}{sinC}$的值等于3．

Answer 1

分析 先利用余弦定理推导出a²=b²+3c²，再由正弦定理推导出$\frac{sin（A-B）}{sinC}$═$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$，由此能求出结果．

解答 解：∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\frac{a}{b}$+$\frac{2b}{a}$=3cosC，
∴$\frac{{a}^{2}+2{b}^{2}}{ab}=3×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
整理，得a²=b²+3c²，
∴$\frac{sin（A-B）}{sinC}$=$\frac{sinAcosB-cosAsinb}{sinc}$
=$\frac{acosB-bcosA}{c}$=$\frac{a•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}-b•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{c}$
=$\frac{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2c}-\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}}{c}$
=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}+3{c}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$
=$\frac{3{c}^{2}}{{c}^{2}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查三角形中两角差的正弦值与第三个角的正弦值的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．