如图.矩形ABCD中.AB=2AD=2.E为边AB的中点.将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点.在△ADE翻折的过程中.有下列命题:①BM是定值,②点M在表面积为5π的球面上运动,③存在某个位置.使DE⊥A1C,④存在某个位置.使MB∥平面A1DE,⑤三棱锥A1-CDE体积的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{6}$．其中.所有正确命题的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE．若M为线段A₁C的中点，在△ADE翻折的过程中，有下列命题：
①BM是定值；
②点M在表面积为5π的球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A₁C；
④存在某个位置，使MB∥平面A₁DE；
⑤三棱锥A₁-CDE体积的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
其中，所有正确命题的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析由已知求出ED²=2=CE²，CD²=4，CE⊥ED，由余弦定理可得MB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，从而得到BM是定值，点M在表面积为5π的球面上运动；若DE⊥A₁C，则DE⊥平面A₁CE与DA₁⊥A₁E矛盾；取CD中点F，则MF∥DA₁，BF∥DE，从而MB∥平面A₁DE；当平面A′DE⊥平面EBCD时，三棱锥A₁-CDE体积取最大值．

解答解：由矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，可得ED²=1²+1²=2=CE²，CD²=2²=4，
∴CE²+ED²=CD²，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．
取CD中点F，连结MF、BF，则MF∥A₁D，且MF=$\frac{1}{2}{A}_{1}D$，BF∥DE，BF=DE，
∴∠A₁DE=∠A₁ED=MFB=45°．
由余弦定理得MB²=$\frac{5}{4}$．
∴MB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BM是定值，点M在表面积为5π的球面上运动，
故①②正确；
若DE⊥A₁C，CE⊥ED，A₁C∩CE=C，则DE⊥平面A₁CE，∴DE⊥A₁E，与DA₁⊥A₁E矛盾，∴③不正确；
取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA₁，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A₁DE，
∴MB∥平面A₁DE，故④正确；
当平面A′DE⊥平面EBCD时，三棱锥A₁-CDE体积取最大值，
此时高h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${S}_{△DEC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，${V}_{{A}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，故⑤正确．
故选：C．