Question

3．设函数f（x）=g（$\frac{x}{2}$）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y-1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x+2y+6=0．

Answer 1

分析 由题意求得g（1））=-8，g′（1）=-9，对f（x）求导，注意复合函数的导数，求出f（2），x=2处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y-1=0，
可得g（1）=-8，g′（1）=-9，
函数f（x）=g（$\frac{x}{2}$）+x²的导数为f′（x）=$\frac{1}{2}$g′（$\frac{x}{2}$）+2x，
即有f（2）=g（1）+4=-8+4=-4，
f′（2）=$\frac{1}{2}$g′（1）+4=4-$\frac{9}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（-4）=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即为x+2y+6=0．
故答案为：x+2y+6=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用复合函数的导数，直线的点斜式方程，考查运算能力，属于中档题．