Question

8．以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cosφ}\\{y=-2+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的互化方法，求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求△CMN的面积．

解答 解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为（x+1）²+（y+2）²=1，极坐标方程为ρ²+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0…（1分）
直线l：y=x的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），…（3分）
（Ⅱ）圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴|MN|=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△CMN的面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．