Question

15．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M是AB的中点，BC=CA=CC₁，则C₁M与面BCC₁B₁所成的角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{30}}{6}$

Answer 1

分析 过M作MD⊥BC，垂足为D，则D为BC的中点，DM⊥平面BCC₁B₁．设BC=CA=CC₁=1，利用勾股定理求出DM，C₁D，C₁M，即可得出答案．

解答 解：过M作MD⊥BC，垂足为D，则D为BC的中点，连结DM，C₁D，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，DM?平面BCC₁B₁，
∴DM⊥平面BCC₁B₁．
∴∠DC₁M为C₁M与面BCC₁B₁所成的角．
设BC=CA=CC₁=1，则DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，C₁D=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴C₁M=$\sqrt{D{M}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴sin∠DC₁M=$\frac{DM}{{C}_{1}M}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，线面角的计算，属于中档题．