Question

20．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$，则函数f（x）的最大值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 求导，令f（x）=0，可知x=1，根据函数的单调性可知，当x=1时，函数f（x）取极大值，也为最大值，即可求得函数f（x）的最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2}{3x}$-$\frac{2}{3}$x=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{3x}$，
令f（x）=0，解得：x=1，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴当x=1时，函数f（x）取极大值，也为最大值，
∴f（1）=0-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查利用导数法求函数的单调性及最值，考查导数的运算，属于中档题．