Question

定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）若满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意实数x，p，都有f（x^p）=pf（x），我们就称f（x）为“降幂函数”
（1）判断y=log₂x是否为“降幂函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）为“降幂函数”，证明：f（m•n）=f（n）+f（m）；
（3）若函数f（x）为“降幂函数”，且在（0，+∞）上单调递增，f（2）=1，f（x）满足f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）-f（m）＞1对一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：压轴题,函数的性质及应用

分析：（1）利用“降幂函数”的概念，易判知y=log₂x是“降幂函数”；
（2）令n=m^p-1，利用“降幂函数”的概念，可证得f（m•n）=f（m•m^p-1）=f（m^p）=pf（m）①，f（n）+f（m）=（p-1）f（m）+f（m）=pf（m）②，从而可证；
（3）利用f（2）=1，f（x）为“降幂函数”，且在（0，+∞）上单调递增，可将f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）-f（m）＞1对一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，转化为m（sinθ+cosθ）+2sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）+cos²θ）=m（sinθ+cosθ）+1+

3

sinθcosθ＞2m对一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，分离参数m，通过构造函数，利用双钩函数的单调性质即可求得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=log₂x不恒为零，满足（1）；
f（x^p）=log₂x^p=plog₂x=pf（x），满足（2）；
∴y=log₂x是“降幂函数”．
（2）∵f（x）为“降幂函数”，
∴m，n∈（0，+∞），令n=m^p-1，
则f（m•n）=f（m•m^p-1）=f（m^p）=pf（m）；①
又f（n）=f（m^p-1）=（p-1）f（m），
∴f（n）+f（m）=（p-1）f（m）+f（m）=pf（m）；②
由①②得：f（m•n）=f（n）+f（m）；
（3）∵函数f（x）为“降幂函数”，f（2）=1，
∴f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）-f（m）＞1=f（2）对一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立
?f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）＞f（2）+f（m）=f（2m），又f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）＞2m对一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，
即m（sinθ+cosθ）+2sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）+cos²θ）=m（sinθ+cosθ）+1+

3

sinθcosθ＞2m对一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，
由θ∈[0，

π

2

]得：t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）∈[1，

2

]，
∴sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴m（2-t）＜1+

3

•

t2-1

2

，由于2-t＞0，
∴m＜

3 t2+2- 3

4-2t

=

3

2

（

t2-1+ 3 2

2-t

）=

3

2

•

[(2-t)+2]2-1+ 3 2

2-t

=

3

2

[（2-t）+

3+ 3 2

2-t

+4]，
令g（t）=（2-t）+

3+ 3 2

2-t

+4，t∈[1，

2

]，（2-t）∈[2-

2

，1]，
∴g（t）_min=g（1）=3+

3

2

+4=7+

3

2

，
∴m＜

3

2

（7+

3

2

）=

14 3 +3

4

．

点评：本题考查函数恒成立问题，对“降幂函数”概念的理解与应用是难点，也是关键，考查构造函数思想、化归思想与推理证明能力，属于难题．