Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为

3

．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l：x-my-2=0与双曲线相交于A，B两点，点B在右准线上的射影为点C，当m变化时，试研究直线AC是否过定点，并写出判断依据．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）取双曲线的渐近线y=

b

a

x，由于右焦点（c，0）到一条渐近线的距离为

3

．可得

bc

a2+b2

=

3

，化为b=

3

．
又e=

c

a

=2，c²=a²+3，解得即可．
（II）把直线方程与双曲线方程联立可得根与系数的关系，当m=0时，可得AB的方程：x=2．可得直线AC的方程为y+3=

6

- 3 2

(x-2)，令y=0，可得x=

5

4

．猜想直线AC过定点M(

5

4

，0)．再证明直线AM过C点即可．

解答： 解：（I）取双曲线的渐近线y=

b

a

x，∵右焦点（c，0）到一条渐近线的距离为

3

．
∴

bc

a2+b2

=

3

，化为b=

3

．
又∵e=

c

a

=2，c²=a²+3，解得a²=1，c=2．
∴双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x-my-2=0 3x2-y2=3

，化为（3m²-1）y²+12my+9=0，
y₁+y₂=-

12m

3m2-1

，y₁y₂=

9

3m2-1

．
∵双曲线的右准线为：x=

1

2

．
∴C(

1

2

，y2)．
当m=0时，可得AB的方程：x=2．
可得A（2，-3），B（2，3），C(

1

2

，3)，
直线AC的方程为y+3=

6

- 3 2

(x-2)，化为4x+y-5=0，
令y=0，可得x=

5

4

．
猜想直线AC过定点M(

5

4

，0)．
直线AP的方程为：y=

y1

x1- 5 4

(x-

5

4

)，
令x=

1

2

，化为y=

3y1

5-4x1

=

3y1

-3-4my1

，
∵3y₁+（3+4my₁）y₂=3（y₁+y₂）+4my₁y₂=

-36m

3m2-1

+

36m

3m2-1

=0，
∴y=

3y1

-3-4my1

=y₂，
因此直线AM与准线x=

1

2

相交于点(

1

2

，y2)，即点C．
∴三点A，M，C共线．
综上可得：直线AC过定点M(

5

4

，0)．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线方程与双曲线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线的距离公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．