Question

4．已知函数f（x）=m•2^x+2•3^x，m∈R．
（1）当m=-9时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；
（2）若$f（x）≤{（\frac{9}{2}）^x}$对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2•3^x+1-9•2^x+1+＞2•3^x-9•2^x，化简可得，2^x-2＜3^x-2，即为（$\frac{3}{2}$）^x-2＞1=（$\frac{3}{2}$）⁰，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得$m≤{（\frac{3}{2}）^{2x}}-2{（\frac{3}{2}）^x}$，令$t={（\frac{3}{2}）^x}＞0$，即有m≤t²-2t的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）当m=-9时，f（x）=-9•2^x+2•3^x，
f（x+1）＞f（x），即为2•3^x+1-9•2^x+1＞2•3^x-9•2^x，
化简可得，2^x-2＜3^x-2，即为（$\frac{3}{2}$）^x-2＞1=（$\frac{3}{2}$）⁰，
即有x-2＞0，
解得，x＞2；
（2）由$f（x）≤{（\frac{9}{2}）^x}$恒成立，即为m•2^x+2•3^x≤（$\frac{9}{2}$）^x，
可得$m≤{（\frac{3}{2}）^{2x}}-2{（\frac{3}{2}）^x}$，
令$t={（\frac{3}{2}）^x}＞0$，
即有m≤t²-2t的最小值，
由（t²-2t）_min=-1，
可得m≤-1，即实数m的范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查指数不等式的解法，注意运用指数函数的单调性和运算性质，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和换元法，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．