Question

17．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{a_na_{n+1}}$，n∈N^*，则$\underset{lim}{n→∞}$（b₁+b₂+…+b_n）$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出a_n=3n-2，从而b_n=$\frac{1}{a_na_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），由此有求出$\underset{lim}{n→∞}$（b₁+b₂+…+b_n）的值．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3（n≥2，n∈N^*），
∴数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=a_n-a_n-1=3的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2，
∴b_n=$\frac{1}{a_na_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（b₁+b₂+…+b_n）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{3n+1}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的前n项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．