Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，且b=2$\sqrt{2}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得 cosB=$\frac{1}{3}$．
（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a²+c²=12，解方程组可求得a和c的值．

解答 解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，
因为A、B、C是△ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA≠0，
因此cosB=$\frac{1}{3}$．
（2）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=$\frac{1}{3}$ac=2，即ac=6，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，所以a²+c²=12，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ac=6}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=12}\end{array}\right.$，
得 a=c=$\sqrt{6}$．
所以a+c=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查两角和的正弦公式，余弦定理的应用，以及两个向量的数量积的定义．