Question

5．已知函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$（a＞0，且a≠1），x∈[0，$\frac{3}{2}$]的最大值比最小值大2a，则a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性，分类讨论，即可求出a的值．

解答 解：函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}-2x}$（a＞0，且a≠1），x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
当a＞1时，函数f（x）在[0，1]为减函数，在[1，$\frac{3}{2}$]为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{a}$，f（x）_max=f（0）=1，
∴1-$\frac{1}{a}$=2a，
即2a²-a+1=0，此方程无解，
当0＜a＜1时，函数f（x）在[0，1]为增函数，在[1，$\frac{3}{2}$]为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{a}$，f（x）_min=f（0）=1，
∴$\frac{1}{a}$-1=2a，
即2a²+a-1=0，
解得a=$\frac{1}{2}$或a=-1（舍去），
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了复合函数的单调性和函数的最值的关系，属于中档题．