Question

6．已知a，b，c，d∈E，证明下列不等式：
（1）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；    
（2）a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的左边减去右边化简结果为 （ad-bc）²≥0，可得不等式成立；
（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．

解答 证明：∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ a²c²+a²d²+b²c²+b²d²）-（a²c²+2abcd+b²d²）
=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）² 成立；
（2）a²+b²+c²
=$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²+a²+b²+c²）
≥$\frac{1}{2}$（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

点评 本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．