Question

9．已知点A，B，C，D是直角坐标系中不同的四点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），$\overrightarrow{AD}$=μ$\overrightarrow{AB}$（μ∈R），且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，则下列说法正确的是（　　）

• A． C可能是线段AB的中点
• B． D可能是线段AB的中点
• C． C、D可能同时在线段AB上
• D． C、D不可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

分析 根据向量共线定理得到A，B，C，D四点共线，再利用反证法求证，问题得以解决．

解答 解：由题意知$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），$\overrightarrow{AD}$=μ$\overrightarrow{AB}$（μ∈R）且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，
故A，B，C，D四点共线，
若C是线段AB的中点，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，∴λ=$\frac{1}{2}$，μ=0，不成立，A错误；
同理，若D是线段AB的中点，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，∴λ=0，μ=$\frac{1}{2}$，不成立，B错误；
若C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，
∴$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＞2，与$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2矛盾，故C错误；
若C，D不可能同时在线段AB的延长线上，
假设M，N同时在线段AB的延长线上，
则λ＞1．μ＞1，∴$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＜2，与$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2矛盾，
故假设不成立，所以C、D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了平面向量共线定理和反证法的应用问题，是综合性题目．